鲸鱼的树洞
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数学分析——函数的连续性

集合的映射

定义 2.1.1

设 $A$,$B$ 是两个集合,如果 $f$ 是一种规律,使得对 $A$ 中的每一个元素 $x$,$B$ 中有唯一确定的元素——记为 $f\left(x\right)$——与 $x$ 对应,则称 $f$ 是一个从 $A$ 到 $B$ 的映射,用 $$f:A\to{B}$$ 来表示。集合 $A$ 叫做映射 $f$ 的定义域;$f\left(x\right)\in{B}$ 叫做在映射 $f$ 之下的像或者 $f$ 在 $x$ 上的值。


要确定一个映射 $f$,必须有两个要素:

  1. $f$ 的定义域 $A$;
  2. 规律 $f$,即对于任何 $x\in{A}$,像 $f\left(x\right)$ 是什么。

定义 2.1.2

设 $f:A\to{B}$,且 $g:A\to{B}$。如果对任何 $x\in{A}$,均有 $f\left(x\right)=g\left(x\right)$,则称映射 $f$ 与 $g$ 相等,记为 $f=g$。

定义 2.1.3

设 $f:A\to{B}$。如果 $f\left(A\right)=B$,则称 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 上的满射,也就是说 $B$ 中的任何元素都是 $A$ 中某一元素在 $f$ 之下的像。

定义 2.1.4

定义 2.1.5

集合的势

函数

函数的极限

极限过程的其他形式

无穷小与无穷大

连续函数

连续函数与极限计算

函数的一致连续性

有限闭区间上连续函数的性质

函数的上极限与下极限

混沌现象