鲸鱼的树洞
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数学分析——函数的导数

导数的定义

定义 3.1.1

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的近旁有定义,如果极限 $${\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x)}{h}}$$ 存在且有限,则称这个极限值为 $f$ 在点 $x_0$ 的导数,记作 $f’(x_0)$,并称函数 $f$ 在点 $x_0$ 可导。

定义 3.1.2

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的右边 $\left[x_0,x_0+r\right)$ 有定义,如果极限 $${\lim_{h\to0^{+}}\dfrac{f(x_0+h)-f(x)}{h}}$$ 存在且有限,则称这个极限值为 $f$ 在点 $x_0$ 的右导数,记作 $f’{+}(x_0)$。类似地,可以定义 $f$ 在 $x_0$ 的左导数 $f’{-}(x_0)$。

函数 $f$ 在 $x_0$ 可导的一个充分必要条件是 $f’{-}(x_0)=f’{+}(x_0)$。

定理 3.1.1

若函数 $f$ 在 $x_0$ 可导,则 $f$ 必在 $x_0$ 连续。

证明:

没时间写。

定义 3.1.3

如果函数 $f$ 在开区间 $(a,b)$ 中的每一个点都可导,则称 $f$ 在 $(a,b)$ 上可导;如果 $f$ 在 $(a,b)$ 上可导,并且在点 $a$ 处有右导数,在点 $b$ 处有左导数,则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导。

类似地,可以定义 $f$ 在 $(a,b]$ 与 $[a,b)$ 上可导。

导数的计算

高阶导数

微分学的中值定理

利用导数研究函数

L’Hospital 法则

函数作图