鲸鱼的树洞
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解析几何——几何空间的线性结构和度量结构

以下内容基于由丘维声教授编著的《解析几何(第三版)》,标准书号为 ISBN 978-7-301-25921-4。

这一章节的内容中有一部分在高中已经学习过,时间紧张,故略去或留空,等有时间之后再完善吧。

向量及其线性运算

向量的概念

高中又不是没教过(

与 $\boldsymbol{a}$ 同向的单位向量记为 $\boldsymbol{a^0}$。

向量的加法

三角形法则

在纸上画一个三角形然后盯着看(

平行四边形法则

在纸上画两个向量然后盯着看,然后补成平行四边形再盯着看(


向量的加法适合下述规律:

  • 结合律

  • 交换律(阿贝尔群 XD

  • 对任意向量 $\boldsymbol{a}$,有 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{a}$

  • 对任意向量 $\boldsymbol{a}$,有 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{-a}=\boldsymbol{0}$

证明:

在纸上画张图然后盯着看(

证毕 XD

定义 1.2

就是定义一下减法,懂得都懂,我懒得敲 LaTeX 了,有空再说。

三角形不等式

$$\lvert\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rvert\leq\lvert\boldsymbol{a}\rvert+\lvert\boldsymbol{b}\rvert$$

向量的数量乘法

定义 1.3

定义了一下实数和向量的乘积。


你高中肯定学过了。

书上有关于乘法的规律的证明,但是现在时间太少,我抄不完(

共线(共面)的向量组

向量的加法和数量乘法统称为向量的线性运算。

定义 1.4

向量组若用同一起点的有向线段表示后,它们在一条直线(一个平面)上,则称这个向量组是共线的(共面的)。

命题 1.1

若 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线,并且 $\boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{0}$,则存在唯一的实数 $\lambda$,使得 $\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$。

证明:

没空证

命题 1.2

这实际上和命题 1.1 类似,只不过让 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 处在了等价的位置上。那我就懒得写了(

推论 1.1

就是不共面时候的结论。

命题 1.3

若 $\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b}$,则 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 共面。

命题 1.4

命题 1.3 反推。

命题 1.5

$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 共面的充分必要条件是:存在不全为零的实数 $k_1, k_2, k_3$ 使得 $$k_1\boldsymbol{a}+k_2\boldsymbol{b}+k_3\boldsymbol{c}=0$$

推论 1.2

不共面的时候 $k_1=k_2=k_3=0$。

几何空间的线性结构

向量和点的仿射坐标、直角坐标

定理 2.1

几何空间 $\mathbf{V}$ 中任意给定三个不共面的向量 $d_1, d_2, d_3$,则任意一个向量 $\boldsymbol{m}$ 可以表示为 $d_1, d_2, d_3$的线性组合。

定义 2.1

$$\boldsymbol{m}=x\boldsymbol{d_1}+y\boldsymbol{d_2}+z\boldsymbol{d_3}$$

用坐标做向量的线性运算

三点(或两向量)共线的条件

线段的定比分点

向量的内积

射影和分量

向量的内积的定义和性质

用坐标计算向量的内积

方向角和方向余弦

向量的外积

向量外积的定义

向量外积的几何意义,平面的定向

向量的外积的运算规律

用坐标计算向量的外积

二重外积

向量的混合积

向量的混合积的几何意义和性质

用坐标计算向量的混合积

三向量(或四点)共面的条件

拉格朗日恒等式及其应用

向量代数在球面三角中的应用